Забавна геометрия

Малките деца много обичат приказките и биха могли да научат доста полезни неща покрай тях.

Намерихме тази интересна приказка в книжката: "Геометрия за малчуганите", В.Житомирски и Л. Шеврин, Народна младеж, 1976.

ПЪТУВАНЕТО НА ТОЧКАТА В СТРАНАТА ГЕОМЕТРИЯ

Живяла някога една точка. Тя била много любопитна и искала всичко да знае. Щом видела непозната линия, непременно питала:

- Как се казва тази линия? Дълга ли е тя или къса?

Веднъж точката се размислила; «Как бих могла всичко да знам, ако живея само на едно място?! Я да тръгна да пътешествам!»

Речено-сторено. Стъпила точката върху правата линия и тръгнала по нея.

Вървяла-вървяла по правата линия. Дълго вървяла.

Уморила се, седнала да се почине и си заприказвала:

- Дълго ли още ще вървя? Наблизо ли е краят на правата линия?

Правата се засмяла: - Ех, точке! Та ти до края няма и да стигнеш: нима не знаеш, че правата няма край?

- Тогава ще се върна обратно - казала точката. - Сигурно не съм тръгнала във вярна посока.

- И другата посока е без край. Правата линия няма никакви краища.

Натъжила се точката:

- Какво да се прави? Така ли ще трябва да вървя, и то без край?

- Е, ако не искаш да вървиш без край, хайде да извикаме на помощ ножицата.

- Добре, да я извикаме - зарадвала се точката. - А ... защо ни е ножицата?

- Сега ще видиш - отговорила правата.

В този момент изневиделица се появила ножицата, щракнала току под носа на точката и разрязала правата линия.

- Ура! - завикала точката. - Ето, че има и край! Виж ти, каква ножица! А сега, направете, моля ви, край и от другата страна.

- Може и от другата - послушно щракнала ножицата.

- Колко е интересно! - възкликнала точката. - Какво излезе от моята права? От едната страна край, и от другата страна край. Как се нарича това?

- Това е отсечка - казала ножицата. - Сега ти, точке, си на отсечка от правата.

- Отсечка от правата, отсечка от правата - с удоволствие повтаряла точката, разхождайки се от единия до другия край на отсечката.

- Аз ще запомня това име. Харесва ми да съм върху отсечка! Но и правата също ми харесва. Жалко, че я няма вече. Сега на мястото на правата са отсечката ми и още тези две ... не зная как да ги наоека. Те също ли са отсечки?

- He - отговорила ножицата. - Те имат само един край, а от другата си страна нямат край. Затова те не се наричат така.

- А как се наричат ?

- Лъчи. Това е лъч, и това е лъч.

-А! - радостно извикала точката. - Аз знам защо се наричат така. Те приличат на слънчевите лъчи.

-Да - потвърдила ножицата. - Слънчевите лъчи започват от слънцето и продължават без край, ако не срещнат нещо по своя път например: Земята, Луната или някой спътник.

-Значи от моята права се получиха: моята отсечка и още два лъча. А правата вече я няма. Ножице, миличка, направи, моля те, отново правата! Само че така, че и моята отсечка да остане!

-Не, аз няма да мога да направя това. Затова пък, ако извикаме на помощ пергела и линийката . .

Ножицата извикала веднага помощниците си. С идването си пергелът и линийката се захванали за работа. Пергелът поставил до линийката отначало единия лъч, а след това другия,

подръпнал ги един към друг и съединил краищата им.

И то така ловко ги съединил, че се получила точно същата права като предишната. И колкото и да се стараела точката, не могла да намери онова място, където се съединявали лъчите.

Зарадвала се точката, че познатата й права, която й подарила отсечката, отново е цяла и невредима. «Значи - помислила си тя, - от правата може да се изреже още една отсечка или даже още много отсечки».

Помолила точката ножицата и ножицата изрязала от правата много различни отсечки. И къси, и дълги. А пергелът с линийката наново съединили получените лъчи. И всички видели, че правата е отново цяла и невредима.

* * *

Започнала точката да хвали пергела, загдето така ловко съединил лъчите в права:

- Браво на теб, пергеле! Ех, че голям майстор си бил!

- Не е само моя заслугата - възразил пергелът. - Не забравяй и за линийката.

А нима ти сам не би могъл да съединиш лъчите?

- Разбира се, че бих могъл. Но не е сигурно дали ще получа права линия!

- Как така?! - учудила се точката.

- Сега ще видиш.

Ножицата отново разрязала правата на два лъча. Пергелът придърпал тези лъчи един към друг, съединил краищата им и ето:

- Да - възкликнала точката, - това вече не е права. Тук няма да може да се премине направо, ще се наложи да се завие.

Какво е това? Как се нарича то?

- Това е ъгъл - казал пергелът.

- Ъгъл. . . ъгъл. . . - няколко пъти си повторила точката новата за нея дума. - Пергел, а как се нарича мястото, където са съединени лъчите?

- Връх на ъгъла. Сега ти, точке, си връх на ъгъла, а лъчите, които започват от тебе, са раменете на ъгъла.

- Ох, пергел, почакай, почакай малко! Толкова много нови названия! Ъгъл, връх на ъгъла, рамене на ъгъла. . . Нима ще мога отведнъж да ги запомня всички?!

- Разбира се, че можеш! Спусни се един-два пъти като по пързалка - от върха на ъгъла по всяко от раменете му, и ще ги запомниш.

Харесал се този съвет на точката. Спуснала се тя по едното рамо, след това по другото. И докато се спускала, си повтаряла:

- По лъча, като от връх

спускам се, стаила дъх.

Трябва да запомня само:

Този лъч се казва «рамо».

Тогава точката весело се разсмяла. Много й се харесала тази шега: лъч, и отведнъж - рамо. Точката се спуснала още няколко пъти по раменете на ъгъла, след това се върнала на върха и се обърнала към пергела:

- Искам да се спускам по-бързо. Не може ли да се направи по-стръмно?

- Може - отговорил пергелът. И той изместил раменете на ъгъла ето така:

- Това е вече твърде много! - завикала точката - Какъв остър ъгъл! От толкова високо можеш да обърнеш през глава! Не е необходимо да е толкова стръмно!

Пергелът разтворил малко раменете на ъгъла ето така:

- Сега е добре - казала точката. - Само че на мен повече не ми се пързаля. . . Знаеш ли, пергел, за какво си мисля сега: ако се съединят краищата не на лъчите, а на отсечките, ще се получи ли също ъгъл?

- Да, разбира се. . . - след като помислил малко, отговорил пергелът. - Това също може да се нарече ъгъл.

- Ами, хайде да видим! - възкликнала точката. Тя си спомнила, че ножицата изрязала от правата много отсечки, и ги повикала. Зарадвали се отсечките, че точката си спомнила за тях, дотичали и застанали по двойки. . . Р-р-раз! И от всяка двойка се получил ъгъл.

Такъв, такъв и такъв.

- Гледай, гледай, пергел! - весело завикала точката. - Колко различни ъгли! Последният даже прилича на теб.

И тъкмо когато пергелът искал да й отговори, изведнъж нечакана-неканена, неизвестно откъде, изскочила злата гумичка - разбойничка. Подскочила към първия ъгъл: «Ф-р-рр!» - и го изтрила. Нахвърлила се върху втория: «Ш-р-рр!» - и втория ъгъл изтрила. И третия ъгъл изтрила безмилостната разбойничка. Тя и точката не би пожалила, но точката успяла да се скрие зад гърба на пергела. А той даже не успял да се опомни, когато гумичката изчезнала безследно.

Тъжно заплакала точката. Та тя току-що се била запознала с ъглите и да ги разгледа както трябва не могла, а ъглите вече ги нямало. Плачела малката точка, а пергелът я утешавал:

-Не плачи, точке, не тъгувай. Ще построим много нови ъгли и от лъчи, и от отсечки. А и разбойничката ще намерим. Намерим ли я, ще я накажем и ще я накараме да върши полезни неща, а не да безобразничи.

* * *

И тръгнали точката и пергелът да вървят. Пергелът вървял напред, с големи крачки, бързо, нали краката му са дълги. А малката точка ситнела, едва успявала.

Пергелът забелязал, че точката подтичва след него. Сложил я върху рамото си и закрачил още по-бързо.

Вървял час, вървял два. . .

Изведнъж спрял: огромна мастилена локва преграждала пътя му.

Нито да я заобиколи, нито да я прескочи. Ясно, това е работа на злата гумичка.

- Какво ще правим? - попитала точката. - Нима ще трябва да се връщаме?

- Съвсем не - отговорил пергелът. - Ако помислим както трябва да направим, непременно ще намерим изход от положението. Виждаш ли островчетата в локвата? Др тях, разбира се, няма как да прекрача, но можем да построим мост!

- Как?

- Ами ще извикаме на помощ нашите приятелки отсечките!

Едва пергелът споменал за отсечките, и те се появили. Една от отсечките се прехвърлила от брега до близкия остров. Друга отсечка пробягала по нея. захванала се за края й и - хоп! - прехвърлила се на следващия остров. Третата отсечка пробягала по първите две, след нея четвъртата, петата. . . Хоп-хоп-хоп! - и мостът бил готов.

- Ура! - завикала точката. - Ето го моста! Каква интересна линия се получи! Пергел, как се нарича тя? Та това не е вече права.

- Това е начупена линия.

- Ха-ха-ха! - засмяла се точката. - Какво смешно име - счупена линия! Кой я е счупил?

- Не счупена, а начупена. Слушай по-добре!

- А-а-а. . . Значи от отсечки може да се получи още и начупена линия.

- Да - потвърдил пергелът. - И ето сега ние с теб ще преминем по тази начупена линия на другия бряг.

Преминали те на другия бряг и тръгнали по-нататък. Вървели, вървели - в далечината забелязали някакъв град.

Искали да се приближат, но на пътя им застанал пазачът и не ги пуска.

- Защо не ни пускате по-нататък? - учудила се точката.

- Затова - отговорил пазачът, - защото оттук започва пътят за нашия град. А в него пускаме само тези, които вече са научили нещо за геометрията и искат да знаят още повече.

- Тогава пусни ме! Аз знам много за геометрията.

- Какво знаеш?

- Права линия, отсечка, лъч. ъгъл, начупена линия - изредила точката.

- А нима това е много! Знаеш ли например какво е триъгълник?

- Не, не знам.

- А искаш ли да научиш?

- Разбира се, че искам.

- Да се научи това вече не е така трудно - намеси се в разговора пергелът, който дотогава мълчал. Извикал той три отсечки, и те съединили краищата си един с друг ето така:

- Какво е това? - попитал пергелът.

- Та това е начупена линия! - възкликнала точката.

- Правилно. А от колко отсечки се състои тя?

-Три.

- А ъглите колко са?

- Сега ще преброя. Един. . . два. . . три! Ъглите га също три.

- Ето, това е то триъгълник. Отсечките му се наричат страни на триъгълника, а върховете на ъглите - върхове на триъгълника.

- Ясно - кимнала точката.

След това внимателно погледнала към пазача и му казала:

- Сега разбирам защо ме попита какво е триъгълник. Та ти самият си истински триъгълник.

- Разбира се - отговорил пазачът. - Всички жители на нашия град са триъгълни. И той се нарича Град на триъгълниците.

-А сега ще ни пуснеш ли в Града на триъгълниците?

- Ще ви пусна. Минете.

Влезли точката и пергелът в града. Необикновен бил този град. Всичко в него било триъгълно. Къщите - триъгълни, прозорците и вратите на къщите - триъгълни. На улиците растели триъгълни цветя, а в градините върху триъгълни дървета висели триъгълни ябълки и триъгълни круши.

Малката точка не могла да сдържи възторга си.

- Пергел, погледни само, колко интересно е тук! Колко триъгълници има наоколо и колко различни са те. Погледни, погледни! Ето този - какъв е дълъг и мършав, просто е смешен. А пък този - изцяло се е изкривил, и едва се държи на краката!

- Да-а-а - промълвил Пергелът. - Много триъгълници съм виждал, но в Града на триъгълниците още не бях идвал. Тук наистина е много интересно.

Сега, точке, ще запомниш добре какво е това триъгълник и какви видове триъгълници съществуват.

Изведнъж точката и пергелът видели странна картина: пред тях стояла къща, но неизвестно защо не била триъгълна. Като че ли някой я е разрушавал.

- Кой би могъл да развали така къщата? - възмутила се точката.

- Това е работа на злата разбойничка гумичката - отговорил минаващият край нея триъгълник.

- Как! И оттук ли е успяла да мине?! - възкликнал пергелът.

- Да, връхлетя вчера върху града ни, развали няколко къщи и дървета, а някои даже съвсем изтри. Създаде много работа на строителите: бързо трябва да поправят всичко.

Приближили се точката и пергелът до повредената къща и започнали да наблюдават как триъгълниците строители издигали новата стена на къщата от тухли (които, разбира се, също така били триъгълни). Тухлите от най-долния ред били подредени като зъбци на трион.

След това иззидали нов назъбен ред и отново запълвали празнините.

Строителите поставяли тухлите от следващия ред между тези зъбци.

Ловко работили строителите. А когато забелязали, че точката и пергелът ги гледат, весело намигнали на гостите, спогледали се и дружно запели песента:

- Към мене ти, към него ти,

към всички нас се взри.

Тук всичко ще те възхити

тук всичко е по три.

Три върха, ъгли и страни -

тук всичко е по три.

И туй, което вършим ний,

е три пъти по-трудно, разбери.

Приятели сме в тоя град,

по-дружни няма май.

Семейство сме голямо, брат,

туй трябва да се знай!

- С песента работата тръгнала още по-бързо и за миг стената била готова.

- Семейство сме голямо, брат, туй трябва да се знай - подхванала точката последните думи от песничката, която й се харесала. А след това казала:

- И на нас с пергела гумнчката също ни напакости. Колко ъгли унищожи, а мен едва не ме изтри! Затова решихме да я намерим и накажем. Отдавна вече вървим и все не можем да открием къде се крие тя.

- И ние не знаем това - казали триъгълниците строители. Но трябва.непременно да издирим злодейката. Хайде да я търсим заедно. Вземете ни за помощници.

- Е, какво пък - отговорил пергелът, - да вървим заедно.

- Не - казали триъгълниците, - пеш е твърде далече. Та нали можем да пътуваме много по-бързо.

- А как? - в един глас попитали пергелът и точката.

* * *

- Със самолет.

- Ура! - зарадвала се точката. - Аз нито веднъж още не съм пътувала със самолет. Не е ли страшно?

- Не е - успокоил я пергелът. - Напротив, много е интересно. Да тръгваме за летището!

На летището имало голям реактивен самолет.

Той вече бил готов да излети. Притиснал към тялото триъгълните си крила, като че ли целият бил устремен напред. Точката, пергелът и новите им приятели се качили на самолета. Забучали двигателите, самолетът се плъзнал по пистата, откъснал се от земята и започнал бързо да набира височина.

Точката с любопитство гледала през прозореца на самолета. Далече под тях се губели в различни посоки правите линии на пътищата и пресичащите ги криволичещи линии на реките и ручейчета. Между тези линии тук-там се виждали квадратите на къщи, правоъгълниците на овощни и зеленчукови градини.

Изведнъж точката забелязала, че един от квадратите изчезнал някъде. След това изчезнал още един квадрат.

- Погледнете! - завикала точката. - Долу изчезват някои квадрати.

- Ще трябва да слезем на земята и да видим какво става там - предложил пергела.

- Самолетът се спуснал надолу и всички видели гумичката. Тя пак вършела безобразия, като безжалостно изтривала някои къщи.

- Ето я! Хванете я! - завикала точката.

Всички наскачали от местата си.

- Намерихме ли те! Сега няма да ни се изплъзнеш! - чули се сърдити викове.

Летецът насочил самолета право към гумичката, а тя, като забелязала преследвачите си, хукнала да бяга с всички сили. Гумичката бягала бързо, но самолетът летял още по-бързо.

- Ето той почти настигнал разбойничката. Всички пътници се прехвърлили на едната страна на самолета и се навели през прозорците, за да хванат гумичката. От това самолетът се наклонил, закачил с крилото си едно дърво, крилото изпращяло рязко, а самолетът се залюлял и изведнъж намалил скоростта си. Гумичката избягала.

- Какво има? Какво се случи?! - развълнувано се питали всички.

- Повреди се крилото на самолета - обявил летецът. - Ще трябва веднага да кацнем.

- Но има ли наблизо летище?

- Виждам долу някакъв град! - показал летецът. - Сигурно има летище.

- Ще кацнем - казал той.

Самолетът едва долетял до летището, където се приземил.

Жителите на града посрещнали пътешествениците. Веднага се виждало, че те всички имат форма на четириъгълници.

- Радостни сме да ви приветстваме в нашия град на четириъгълниците и сме готови да ви помогнем - казали посрещачите.

- Значи сме попаднали в Града на четириъгълниците! - възкликнала точката. - Интересно! Аз не знаех, че има такъв град. А ние идваме от Града на триъгълниците. Гоним гумичката разбойничка.

- Гумичката ли? - попитали четириъгълниците. - Научихме за безобразията й. Разбойничката трябва непременно да бъде хваната. С какво можем да ви помогнем?

- Необходимо е да се смени едното крило на самолета ни - казал летецът. - Може ли да се направи това във вашия град?

- Разбира се, че може. Да отидем в завода, където правят самолетите. Там има различни крила.

Всички тръгнали към завода.

По пътя точката с любопитство разглеждала всичко.

- Я виж, пергел - учудила се тя. - Почти всички четириъгълници на тази улица си приличат: ъглите им са прави.

- Няма нищо чудно - казал пергелът. - Улицата, по която се движим сега, се нарича «Улица на правоъгълниците».

- А има ли във вашия град и улица на ромбовете - попитала точката, обръщайки се към читириъгълниците.

- Има. Тя е наблизо - отговорили новите й познати.

- А сигурно има и улица на квадратите?

- Не, специална улица на квадратите няма. Квадратите живеят както на улицата на правоъгълниците, така също и на улицата на ромбовете.

- А защо е така. . . - подхванала точката, но пергелът прекъснал въпроса й.

- След това ще ти обясня всичко. Не трябва да губим време сега, защото гумичката ще избяга твърде далече. Трябва да бързаме за завода.

В завода имало най-различни крила на самолети. Но. . . всички те били правоъгълни.

- Лоша работа - безпомощно казал летецът. - Тези крила не стават. Нашият самолет е от града на триъгълниците и с четириъгълни крила няма да може да полети. Необходими му са триъгълни крила.

Какво да се прави?

Никой нищо не можел да измисли. И тогава пергелът предложил:

- Хайде да извикаме ножицата. Може би тя ще измисли нещо.

Ножицата, като разбрала за какво става дума, възкликнала:

- Това е съвсем проста работа! Четириъгълното крило ще трябва да се разреже по диагонала и ще се получат две триъгълни крила.

- Аз не разбрах: как така - да се разреже по диагонала? - попитала точката. - Какво е това диагонал?

- Сега ще научиш - каза ножицата. - Гледай: ето крилото на самолета. То има форма на четириъгълник. Аз ще построя тази отсечка, която съединява противоположните върхове на четириъгълника. . . Готово.

Това е диагоналът на правоъгълника.

- Разбрах - казала точката. - Диагоналът съединява противоположните върхове.

- Виж - продължила ножицата, - четириъгълникът има още една двойка противоположни върхове. Те също могат да се съединят с диагонал.

- Значи в четириъгълника има два диагонала? - попитала точката.

- Да - отговорила ножицата. - А сега да разрежем четириъгълното крило по един от диагоналите. Ето ви две триъгълни крила. Вземете кое да е.

Работниците четириъгълници бързо заменили повреденото крило с ново и самолетът бил готов отново да излети. Пътниците благодарили на добрите стопани от Града на четириъгълниците, а всички заедно благодарили на ножицата за оказаната помощ. Слад това точката, пергелът и триъгълниците седнали в самолета. В самолета при тях седнала и ножицата, която също така решила да вземе участие в преследването на гумичката. Самолетът се вдигнал и наново полетял да търси гумичката.

Сега всички пътници внимателно гледали надолу: няма ли да се покаже някъде злата разбойничка. Под крилата на самолета пак преминавали различни линии на пътища, реки и ручейчета, а от време на време в далечината се показвал и някой град. Ето, един от градовете бил точно под самолета.

- Гледайте, гледайте! - завикала точката. - Отново някакъв интересен град; в него всичко е кръгло.

- Да - казали триъгълниците. - Това е Градът на кръговете. Разбира се, там всичко трябва да бъде кръгло. Там даже и книжките се печатат кръгли, а в книжарниците има само кръгли букви.

- Точката искала да научи от триъгълниците още интересни неща за Града на кръговете, но пергелът завикал:

- Аз виждам гумичката! Ето, тя бяга по пътя.

Гумичката бягала колкото сила имала, но бързият самолет я настигнал. Преследвачите наскачали от местата си, спуснали се с парашути и обкръжили разбойничката от всички страни.

Видяла гумичката, че няма как да се измъкне. Замолила за милост.

- Не може! - отговорили й всички. Без наказание няма да те пуснем. Ще трябва да те накажем за безобразията. Виждаш ли тази права линия? След като толкова много обичаш да изтриваш, хайде, изтрий я цялата!

Нямало какво да прави, трябвало да изтрие правата линия. Изтривала, изтривала Гумичката, изтривала, изтривала, ставала все по-малка и по-малка. . . Вече станала съвсем малка гумичка, но цялата права не могла да изтрие. Примолила се тя:

- Смилете се над мене, пуснете ме! Никога-никога повече няма да правя злини. Ще изтривам само тогава, когато ме помолят за това.